Проекция геометрической суммы сил на ось. Проекция силы на ось. Проекция векторной суммы сил на ось. Что будем делать с полученным материалом

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол .

Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем

1. F x = F cos α

Проекция вектора в данном случае положительна

Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.

Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.

Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .

Проекция силы F на ось х равна нулю

F x = F cos 90° = 0.

Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .

Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .

Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.

Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.

Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника

Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x

где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

Теоретический материал

Связь – это тело, препятствующее перемещению другого тела под действием силы.

Реакция связи – сила, возникающая внутри самой связи. Реакция всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Все тела могут быть свободными и несвободными. Свободное тело не имеет связи. Любое несвободное тело можно представить свободным, если действующие на него связи заменить реакциями.

Виды связей:

а) Гладкая поверхность или плоскость , то есть поверхность не имеющая трения. Реакция этой связи всегда направлена перпендикулярно точке соприкосновения. R – реакция связи

б) Гладкая опора Реакции этой связи направлены перпендикулярно к точке соприкосновения. (Реакция – сила внутри конструкции). Ее величина зависит от материала, размера и внешней силы.

в) Гибкая связь – связь, работающая только на растяжение, которая осуществляется тросом, канатом, цепью. Реакция гибкой связи направлена по самой связи к точке закрепления, то есть противоположно направлению силы.

г) Жесткие стержни . Осуществляется различными балками, двутаврами, швеллерами. Связь работает как на растяжение, так и на сжатие. Если стержень испытывает растяжение, то реакция направлена по стержню к месту закрепления, если на сжатие, то реакция - за стержень.

д) Шарнирная опора . Опоры бывают подвижные и неподвижные. Неподвижная опора имеет две реакции, расположенные перпендикулярно друг к другу. Подвижная опора имеет одну реакцию, перпендикулярно поверхности.

Подвижная опора Неподвижная опора

Задания для выполнения работы

1. Вычертить рисунки своего варианта.

2. Описать рисунок.

3. Определить вид связи и заменить их реакциями.

Вариант 18

1.

2.

3.

Контрольные вопросы:

1. В чем отличие между осью и проекцией?

2. Сколько уравнений равновесия Вы составляли при решении задачи?

3. Методика решения задач ПССС.

4. Дайте определение плоской системе сходящихся сил.

5. Какой величиной является проекция силы на координатную плоскость?

Литература:

1. Вереин Л.И. Техническая механика – М: Академия, 2006.

2. Мовнин М.С. Основы технической механики – СПБ: Политехника, 2003.

3. Молчанова Е.В., Шурыгина Г.Н. Статика и сопротивление материалов - Томск, 2008.

Практическая работа №2

Тема урока: Определение реакций связи плоской системы сходящихся сил.

Тип урока: закрепление полученных знаний.

Цель урока: Научиться определять реакции связи плоской системы сходящихся сил

Обеспечивающие средства:

1. методическое руководство по выполнению работы;

2. индивидуальное задание;

3. тетрадь для практических работ;

7. калькулятор.

Технология работы:

1.Внимательно изучите методические указания, предложенный теоретический материал.

2.В соответствие с вариантом, выполнить задание по методике представленной ниже.

3.Сделайте выводы о проделанной работе.

4.Ответить на контрольные вопросы.

Теоретический материал

Условия и уравнения равновесия плоской системы произвольно- расположенных сил.

При приведении системы сил к точке получается R гл и М гл.

Если система сил находится в равновесии, то R гл = 0, М гл = 0.

Запишем три вида уравнений равновесия для данной системы.

Первый вид

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O 1 . Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил в общем виде: M O1 =ƩM o1 (F k). В нашем случае, имеем M O1 =M Ol (R), так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M O =0). Сравнивая соотношения, получаем M O1 (R)=ƩM Ol (F k); ч.т.д.

18.Аналитический способ задания силы Выберем систему координат Oxyz. Вектор можно построить, зная модульи углымежду вектором и соответствующими осями Задание этих величин и определяет силу. Точка приложения силы должна быть задана дополнительно координатами х, у, z. Кроме того, силу можно задавать проекциями на оси. Тогда

Эти формулы позволяют, зная проекции силы на оси координат найти ее модуль и углы с осями, т.е. определить силу. Зная проекции, можно построить вектор геометрически.

Для плоскости формулы (2.2.1) и (2.2.2) запишутся Построение в плоскости производится по 4-й аксиоме статики.

19. Опорные устройства балочных систем

Применяются следующие виды опор:

Шарнирно - подвижная опора

Здесь остается неизвестным числовое значение опорной реакции RA. Следует отметить, что опорная поверхность шарнирно-подвижной опоры может быть непараллельна оси балки (рис.б). Реакция RA в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.

Шарнирно - неподвижная опора

Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения опорной реакции - центр шарнира; направлениеи значение опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения значения и направления (полной)реакции RA находят ее составляющие RAx и RAy.

Жесткая заделка (защемление)Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни поворота.Неизвестными в данном случае являются не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Поэтому жесткую заделку заменяют силой реакции RA и парой сил с моментом MA.

Для определения опорной реакции следует найти три неизвестных: составляющие RAx и RAy опорной реакции по осям координат и реактивный момент MA.

20.Проекция силы на ось и на плоскость

Скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы называется проекцией силы на ось.

Знак плюс проекция имеет, если перемещение от начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном.

Таким образом, проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Проекция силы на ось Ох обозначается какTo есть проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 13).

Проекция силы на плоскость есть величина векторная и характеризуется как модулем, так и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы на плоскость Оху выражается какТогда проекции на оси Ох и Оу:

21. разложение сил . Разложить данную силу на не­сколько составляющих - значит найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два частных случая:

а) разложение силы по двум заданным на­правлениям. Задача сводится к построению такого парал­лелограмма, у которого разлагаемая сила является диагональю, а стороны параллельны заданным направлениям

б)разложение силы по трем заданным на­правлениям. Если заданные направления не лежат в одной плоскости, то задача"является определенной и сводится к построе­нию такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает заданную силу R, а ребра параллельны заданным направлениям. Способом разложения можно в простейших случаях пользовать­ся для определения сил давления на связи. Для этого действующую на тело (конструкцию) заданную силу надо разложить по направле­ниям реакции связей, так как согласно закону о действии и противо­действии сила давления на связь и реакция связи направлены вдоль одной и той же прямой.

а аналитическим условием равновесия, которое основано на методе проекций.

Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.

Пусть даны координатные оси х, у, сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей (рис. 2.3).

Проекциями силы Р на оси будут отрезки аЬ и а"Ь". Обозначим этн проекции соответственно Р„и Р„. Тогда

Р„= Р со я а; Р„= Р я п а.

Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направлению проекции. За направление проекции примем направление от проекции начала к проекции конца вектора силы.

Установим следующее правило знаков:

если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направление.м оси, то эта проекция считается положительной, и наоборот.

Если вектор силы параллелен оси, то он проецируется на эту ось в натуральную величину (рис. 2.3, сила Г).

Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 2.3, сила Я).

Зная две проекции Р„и Р„, из треугольника АВС определяем модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:

модуль силы

направляющий тангенс угла между вектором силы

Р и осью х

Отметим, что силу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Р„и Р., параллельных осям координат (рис. 2.3). Составляющие Р„и Р„и проекции Р„ и Рх принципиально отличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция величина алгебраическая; но проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси х и у и модули составляющих той же силы соответственно численно равны, когда сила разлагается по двум взаимно перпендикулярным направлениям, параллельным осям х и у.

$2.4. Аналитический способ определения

равнодействующей плоской системы сходящихся сил

Пусть дана плоская система п сходящихся сил

Равнодействующая этой системы

В плоскости действия данной системы выберем ось координат и спроецируем данные силы и их равнодействующую на эту ось.

Из математики известно свойство проекции векторной суммы, на основании которого можно утверждать, что проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось, т. е.

Правую часть этого равенства записываем упрощенно,

а именно:

Для того чтобы определить равнодействующую любой плоской системы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат х и у, алгебраически сложим проекции всех сил и найдем, таким образом, проекции равнодействующей.