Открытый урок свойства логарифмов с презентацией. Презентация на тему "логарифмы и их свойства". Самоанализ открытого занятия

Тема: Свойства логарифмов.

Цели : 1. Обучающие: формирование умения выполнять тождественные преобразования,

используя свойства логарифмов.

2. Развивающие цели: развитие самостоятельности мышления, умения

обосновывать свое решение.

3. Воспитательные цели: способствовать воспитанию познавательной потребности

учащихся путем создания проблемной ситуации.

Основные понятия: логарифм произведения,

логарифм частного, логарифм степени.

Самостоятельная деятельность учащихся: решение задач по теме «Свойства логарифмов»

Основополагающий вопрос : А можно ли без них?

Проблемный вопрос:

    Актуализация. (3 минуты.)

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем активны на уроке, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием.

Задача стоит такая: научиться решать логарифмические выражения с использованием свойств логарифмов.

1. Обсуждение № 180(3) из дом. Задания

log 0,2 log 2 (2x+3)

log 0,2 log 2 (2x+3)log 0,2 5

log 2 (2x+3)log 2 32

Вычислите:

а) log 1/3 1/3 в) log 1/3 1/9 д) log 1/3 9

б) log 1/3 3 г) log 1/3 1 е)log 1/3

3.Укажите область определения функции:

а)y=log 3 x в) y=log 3 |x|

б) y=log 3 (x-1) г) y=log 3 (-x)

4.Определите характер монотонности функции:

а) y=log 3 x б) y=log 1/3 x в) y= -log 5 x

    Изучение нового материала .(10 минут.)

Проблемный вопрос:

Как вывести свойства логарифмов, используя свойства степеней?

а x =b x=log a b

а y =c y=log a c

вc=a x b y = a log а b a log a c = a log a b+ log a c

log a (bc)=log a b+log a c

Аналогично можно получить логарифм частного и степени:

log a b/c= log a b- log a c

log a b р = р log a b

Переход к логарифму с новым основанием.

log a b = x , a x =b (логарифмируем)

log c a x =log c b

x log c a = log c b

x= log c b / log c a

log a p b = 1 /p log a b(вынесение показателя степени основания)

(Формулы занести в таблицу)

Свойства логарифмов

Название и формулировка свойства

Логарифм произведения равен сумме логарифмов

Логарифм частного равен разности логарифмов

log a b p = p log a b

Логарифм степени равен произведению показателя

степени на логарифм основания этой степени

Учащиеся копируют таблицу в тетрадях.

Логарифмы с одинаковыми

основаниями

Логарифмы с разными

основаниями

log a (bc) = log a b + log a c

log a b / c = log a b – log a c

log a b p =p log a b

log a b= log c b/ log c a

log a p b=1/p log a b

Iii. Применение. (20 минут.)

№ 182 (1-5) (учащиеся анализируют задания на предмет возможности использования

свойств логарифмов)

    log 6 2+ log 6 3

    log 1/15 25 + log 1/15 9

    log 3 12 – log 3 4

    log 2 12+ log 0,5 3

    log 3 18 + log 1/3 2

Вопросы к данному номеру:

    Одинаковы ли основания логарифмов в задании?

    С какой частью таблицы будете работать?

    Какую формулу из таблицы примените?

    Что в результате получите?

    Запишите вычисления.

соответствующей формулы, назвать получившиеся выражения и его

значение.

№ 183 (1,2)- фронтально.

Зная, что log 6 2=a выразите через выражение 1) log 6 16

№ 183 (3,4)- самостоятельно.

(Ответы: в 3) 7,5а; в 4) -4а)

№ 183 (5)- фронтально

log 2 6= log 6 6 / log 6 2=1/a

(Ученики должны заметить, что данный логарифм имеет другое основание и используя результат данного задания получить ещё одну формулу log a b= 1/log b a)

Работа по учебнику: пример №1.

log 2 x = 3-4log 2 + 3log 2 3

3- 4 log 2 + 3 log 2 3 = log 2 2 3 – log 2 () 4 + log 2 3 3 = log 2 2 3 3 3 /() 4 =log 2 8* 3 3 /3 2 =

Log 2 (8*3)=log 2 24

log 2 x= log 2 24, x=24

Из рассмотренного примера учащиеся знакомятся с новым термином «потенцирование»- нахождение числа по известному логарифму.

№ 185 (2)- самостоятельно

(Ответ: а=20,25)

IV . Домашнее задание: п. 11(пр.1); (1 минута.)

№ 181(1)- вывод формулы логарифм частного

№ 182 (3,5,7 *)

V . Итог урока: (1 минута)

Вывод: - какую тему рассмотрели?

Какая задача стояла на уроке?

Какие свойства логарифмов вы знаете?

Чему равен логарифм произведения?

Чему равен логарифм частного?

Чему равен логарифм степени?

Выставление оценок с пояснением.

VI . Информационные ресурсы:

      Г. К. Муравин, О. В. Муравина

Алгебра и начала анализа.

      Г. К. Муравин, О. В. Муравина

Алгебра и начала анализа. Учебник 10кл. М.: Дрофа, 2004г.

      А. Я. Симонов и др.

Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение, 1998г.

v . Кросснамбер. (в переводе с английского – кресточислица) –один из видов

числовых ребусов.










Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи урока:

  • рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
  • дать понятие десятичного и натурального логарифма;
  • овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
  • развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
  • продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;
  • научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
  • вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методическое обеспечение: проектор, презентация к уроку, учебники, индивидуальные карточки.

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока. (Слайд 2)

2. Актуализация знаний

В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной

роли логарифмов в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркивает значение десятичных и натуральных логарифмов.

3. Повторение ранее изученного материала

Экспресс-опрос

Преподаватель задает вопросы:

а) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.

б) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах

в) Решить устно примеры:

4. Изучение нового материала

План

1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.

2. Основное логарифмическое тождество.

2. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.

3. Десятичный логарифм.

4. Натуральный логарифм.

Преподаватель излагает новый учебный материал

Логарифм числа

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение

А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство или Но в любой натуральной степени будет числом четным, а в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается: логарифм числа по основанию

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию

дается определение логарифма (Слайд 3)

Например

а) log 3 81 = 4, так как 3 4 = 81;

б) log 5 125 = 3, так как 5 3 = 125;

в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;

г) , так как ==

Введение основного логарифмического тождества (Слайд 4)

Обратите внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству: ;

5; .

Подчеркнем, что и одна и таже математическая модель

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. (Слайд5) Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните.

Возведение в степень Логарифмирование

Основные свойства логарифмов (Слайд 6)

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

  • log a 1 = 0.
  • log a a = 1.
  • log a xy = log a x + log a y.
  • log a = log a x - log a y.
  • log a x p = p log a x

для любого действительного p.

Решить примеры устно. Найти x

Десятичные и натуральные логарифмы (Слайд 7)

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается, т.е. вместо пишут .; б)

  • Какая тема была изучена на уроке?
  • Достигнута ли цель урока?

Учащиеся призваны воспроизвести в памяти то, что усвоили, и проанализировать выводы, которые были сделаны в течение всего занятия.

  • Что вам сегодня больше всего запомнилось на уроке, что понравилось?


Тема: «Логарифмы и их свойства»

Тип урока : урок проверки, оценки и коррекции знаний, умений и навыков.

Вид урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Методы и приёмы: информационный, частично-поисковый, взаимообучения, словесный, наглядный.

Формы работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.

Цели урока :

Образовательные:

    Повторить определение логарифма.

    Закрепить основные свойства логарифмов.

    Способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

Развивающие:

    Развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы;

    Развивать мыслительную деятельность учащихся, способность самооценки и взаимооценки; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные:

    Воспитывать умение работать с имеющейся информацией.

    Воспитывать личностные качества обучающихся (умение слушать), доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, аккуратность, дисциплинированность.

    Воспитывать интерес к предмету и потребности в приобретении знаний.

Используемое оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Используемые ЦОР:

Мультимедийная презентация учителя "Логарифмы и их свойства", тесты, подготовленные средствами MS PowePoint , карточки для индивидуальной работы.

План урока:

    Организация начала урока.

    Проверка выполнения домашнего задания.

    Актуализация опорных знаний и умений (фронтальная работа, индивидуальная работа; тренировочные упражнения-закрепления.)

    Проверка знаний. (Работа у доски).

    Контроль и самоконтроль знаний (разноуровневые задания).

    Задание на дом.

    Подведение итогов урока.

    Оценка знаний.

Ход урока:

    Организация начала урока. Формулировка темы урока и постановка целей.

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами необычный урок. Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. (слайд 1)

Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание Конфуция (слайд 2)

Эпиграф: Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький.

Значит, на уроке мы будем размышлять, подражать , т.е. делать по образцу и набираться опыта.

Сегодня на уроке мы повторим (цели урока ) определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, которые значительно упрощают нахождение значений выражений, содержащих логарифмы, а в дальнейшем с их помощью мы будем решать логарифмические уравнения и неравенства. (слайд 3)

- Определите тему урока (слайд 4)

Тема урока «Логарифмы и их свойства »

Открываем тетради и записываем число и тему урока.

2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний и умений.

Проверим ваше домашнее задание. Проверим знание определений и свойств логарифмов.

2.1 Дать определение логарифма .(слайд 5)

Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, a > 0, a=1) называют показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b .

log a b=x означает, что a x =b .

2.2 (слайд 6)

    Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

    Логарифм частного равен сумме логарифмов.

    Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

2.3 Подготовит сообщение. Страничка истории. Об истории развития логарифма. (слайд7)

3. Устная работа. Вычислить устно и рассказать какое свойство применяется. (слайд 9)

4. Проверка знаний: тренировочные упражнения-закрепления.

- Мы повторили свойства логарифмов, теперь проверим, как вы их поняли. (работа у доски)

1.Вычислите: ( слайд 9)

    log 3 6 + log 3 18 - log 3 4

    log 12 4 + log 12 36

2. Найдите число х, если: (слайд 10)

2+ 4 =2 + -

3. Решите уравнение: (слайд 11)

    log 2 3 х = log 2 4 + log 2 6 в ) 2 log 8 х = log 8 2,5 + log 8 10

    Контроль и самоконтроль знаний.

- Вам предлагается за определённое время решить небольшую самостоятельную работу. (слайд12)

1. Вычислите :

1) log 6 12 + log 6 3

2) log 5 250 – log 5 2

3)

2. Решите уравнение:

    log 6 12 + log 6 х = log 6 24

    log а х = 2log а 3 + log а 5

После выполнения работы обучающиеся обменивается тетрадями с соседом по парте. Решения с правильными ответами проектируются на экран. (слайд 14,15)

Оценочный лист обучающегося:

Фамилия ___________________________

Имя _______________________________

Количество баллов

(одно задание – 5 баллов)

Оценивал (Ф.И.)

1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

Итого

Оценка

Критерии оценки : «5» - 20-25 баллов, «4» - 15-20 баллов, «3» - 10-15 баллов.

    Подведение итогов урока: (слайд16)

Продолжите фразы:

    Сегодня на уроке я повторил…

    Сегодня на уроке я узнал…

    Сегодня на уроке я научился…

7.Оценка знаний. (слайд17)

8. Домашнее задание : №747, 752, 762 (слайд18)

9. Заключение. (слайд 19)

Сегодня на уроке вы демонстрировали свои умения в решении задач по теме «Логарифмы и их свойства» - вы размышляли, подражали и набирались опытом.

Закончить урок хочется словами известного математика Мориса Клайна: «Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей»

(слайд 20)

Литература:

    А. Н. Колмогоров и др «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 класс.

    С.М. Никольский и др. «Алгебра и начала анализа» 11 класс.

    М.И. Сканави «Сборник задач по математике».

    Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике»

    Журнал «Математика в школе».

Методическая разработка урока по алгебре 11 класс

«Логарифмы и их свойства»

Цель урока:

    Образовательная – ввести понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

    Развивающая - развивать математическое мышление; технику вычисления; умение логически мыслить и рационально работать; способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля.

    Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Задачи урока :

Развить у учащихся умения сравнить, сопоставлять, анализировать, делать самостоятельные выводы.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Ключевые слова: логарифм; свойства логарифма.

Программное обеспечение : MS Power Point.

Межпредметные связи : история.

Внутрипредметные связи : «Корень n-ой степени и их свойства».

План урока

    Организационный момент.

    Повторение пройденного материала.

    Объяснение нового материала.

    Закрепление.

    Самостоятельная работа.

    Домашнее задание. Подведение итогов урока.

Ход урока:

    Орг момент: проверка готовности учащихся к уроку; рапорт дежурного.

Добрый день, обучающиеся.

Этот урок я хочу начать со слов А.Н. Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

    Повторение пройденного материала.

Учащимся предлагается вспомнить:

1.Что такое степень, основание и показатель.

2. Основные свойства степеней.

3. Сообщение новой темы.

А теперь перейдем к новой теме. Тема сегодняшнего урока - Логарифм и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов. Тема эта актуальна, т.к. логарифм всегда встречается на итоговой аттестации по математике.

Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log 3 9=2

Эта запись читается так: «Логарифм числа 9 по основанию 3». Логарифм числа 9 по основанию 3 это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 9. этот показатель равен 2.

Аналогично второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение . Логарифмом числа b0 по основанию a0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .

Логарифмом числа b по основанию a обозначаетсяlog a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Рассмотрим примеры:

log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2; log 5 1/125=-3; log -2 -8- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1

Рассмотрим такие примеры:

1 0 . log a 1=0, а0, a ≠ 1;

2 0 . log a а=1, а0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.

В математике принято следующее сокращение:

log 10 а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).

log е а= ln а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное  2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят).

Рассмотрим примеры:

lg 10=1; lg 1=0

ln e=1 ; ln 1=0 .

Как перейти из логарифмического равенства к показательному: log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.

Рассмотрим пять логарифмических равенств. Задание: проверить их правильность. Среди этих примеров есть ошибки. Для проверки воспользуемся данной схемой.

    lg 1 = 2 (10 2 =100)- это равенство не верное.

    log 1/2 4 = 2- это равенство не верное.

    log 3 1=1 - это равенство не верное.

    log 1/3 9 = -2 - это равенство верное.

    log 4 16 = -2- это равенство не верное.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b

Рассмотрим пример.

5 log 5 13 =13

Свойства логарифмов:

3°. log а ху = log а х + log а у.

4°. log а х/у = log а х - log а у.

5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log 2 8 + log 2 32= log 2 8∙32= log 2 256=8

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

3∙3 = 9

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.

Возьмем пример: log 3 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

    Закрепление.

Для закрепления новой темы решим примеры.

Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

        log 6 6

    log 0,5 1

    log 6 3+ log 6 2

    log 3 6- log 3 2

    log 4 4 8

Пример 2.
Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

    log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6

    log 5 5 3 = 2;

    log 3 45 - log 3 5 = log 3 40

    3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)

    log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;

    2∙log 5 6 = log 5 12

    3∙log 2 3 = log 2 27

    log 2 16 2 = 8.

    Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.

Вычислите:

Вариант 2.

Вычислите:

    Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.

Урок закончен. До свидания.